О новых задачах по стереометрии

Abstract

Приводятся оригинальные комбинационные задачи с правильными многогранниками, к числу которых относятся как популярные тетраэдры и кубы, так и менее распространенные в силу своей сложности октаэдры, додекаэдры и икосаэдры. Приведено решение задачи о вычислении ребра октаэдра, додекаэдра и икосаэдра через сторону вписанного и описанного куба. Вычислен радиус описанной и полувписанной сфер вокруг додекаэдра и икосаэдра. Приведены интересные факты из геометрии, касающиеся углов, ребер, вершин и граней выпуклых многогранников. Во второй части работы приведены несколько нетривиальных комбинаций тел с общей вершиной, в которых высота одного тела служит боковым ребром другого, и в которых найден объем общей части тел. Скомбинированными оказываются две треугольные и две четырехугольные пирамиды, треугольная пирамида с конусом. Каждая задача сопровождается подробным чертежом, а решение задач с платоновыми телами содержит также и несколько вспомогательных рисунков. Работа может быть полезной преподавателям математики средних школ не только в качестве методического обеспечения, но и в виде наглядной помощи при подготовке к олимпиадным мероприятиям. It were given original combinative problems with regular polyhedrons, which including well-known tetrahedrons and cubes, and also the lesser-known octahedrons, dodecahedrons and icosahedrons due to its complexity. The solution of the problem of the calculation of the edge of octahedron, dodecahedron and icosahedron by using the the side of inscribed and circumscribed cubes has been given. The radius of the circumsphered circle and midsphere around the dodecahedron and icosahedron has been calculated. Two triangular pyramids and two tetragonal ones, as well as the triangular pyramid with a cone have been arranged. In the second chapter of the paper, it were shown several non-trivial combinations of the bodies with a common vertex, in which the height of one body was a lateral edge of the other one and in which the volume of generalities bodies was found. Two triangular pyramids and two tetragonal ones, as well as the triangular pyramid with a cone have been arranged. Each problem was going with the detailed figure, and the solution to the problems with Platon body was including several supporting ones as well. This paper could be used by high school mathematics teachers not only as methodological support, but also as a clear example in preparation for the Olympiad tasks in math for students.