볼록 자원소비함수를 갖는 병렬공정 스케줄링 문제

Abstract

본 논문에서는 세 개의 병렬기계 스케줄링 문제(parallel machine scheduling problem)를 고려한다. 각 작업의 처리 시간은 주어진 양의 값인 k의 거듭제곱에 대한 자원 사용량에 반비례한다. 자원은 첫 번째 문제에서는 작업에, 두 번째와 세 번째 문제에서는 기계에 사용된다. 이에, 작업 j의 처리 시간 (p<SUB>j</SUB>)은 첫 번째 문제에서 부하량 (w<SUB>j</SUB>)과 자원 사용량(첫 번째 문제의 경우 u<SUB>j</SUB>로, 두 번째와 세 번째는 p<SUB>j</SUB>로 표기됨)의 볼록 함수로 표현한다. 즉, 작업 j의 처리 시간은 첫 번째 문제의 경우는 p<SUB>j</SUB> = (w<SUB>j</SUB>/u<SUB>j</SUB>)<SUP>k</SUP>로, 두 번째와 세 번째 문제의 경우에는 p<SUB>j</SUB> = (w<SUB>j</SUB>/U<SUB>i</SUB>)<SUP>k</SUP>로 표현된다. 첫 번째와 두 번째 문제의 목적함수는 전체 작업 완료시점(makespan)과 총 자원 소비 비용의 합계를 최소화하는 것인 반면, 세 번째 문제에서는 총 자원 소비 비용이 주어진 예산보다 같거나 작게 사용되는 제약 하에 전체 작업 완료시점을 최소화하는 것이다. 기존 연구를 통해 작업량 분할 문제(workload partition problem)는 계산 복잡도가 strongly NP-hard이고, 기계의 대수가 주어진 경우에는 완전 다항식 시간근사 해법(fully polynomial-time approximation scheme, FPTAS)을 갖는다는 것이 알려져 있다. 본 논문에서는 세 문제와 작업량 분할 문제가 서로 본질적으로 동일함을 증명함으로써, 세 문제 역시 계산 복잡도가 strongly NP-hard이고, 기계의 대수가 주어진 경우에는 FPTAS를 갖는다는 것을 보였다. 마지막으로 두 번째와 세 번째 문제는 만약 k의 값이 1보다 크거나 같은 경우, 다항 시간 안에 풀린다는 것을 보였다.