Интенсиональная семантика логики классов Дж. Венна

Abstract

В статье развивается предложенный В.И. Шалаком оригинальный подход к построению адекватных семантик для различных систем силлогистики. Его суть состоит в том, что субъектам и предикатам категорических высказываний сопоставляются в качестве значений формулы языка пропозициональной логики, а сами эти высказывания интерпретируются с использованием отношения логического следования. Семантика данного типа строится для логики классов Дж. Венна – силлогистики с нестандартным набором исходных простых высказываний: "Все $S$ есть все $P$" ($SaaP$), "Все $S$ есть некоторые $P$" ($SaiP$), "Некоторые $S$ есть все $P$" ($SiaP$), "Некоторые $S$ есть некоторые $P$" ($SiiP$), "Ни один $S$ не есть $P$" ($SeP$). Каждому из них соответствует одна из пяти круговых диаграмм Эйлера. Существуют две формализации силлогистики Венна с данным набором исходных констант: логика отношений между произвольными классами (система $\textbf{СФV}$) и логика отношений между непустыми классами (система $\textbf{С4V}$). Сначала семантика в стиле В.И. Шалака формулируется для системы $\textbf{СФV}$. Значениями общих терминов в ней являются любые пропозициональные формулы. $SaaP$ значима, е.т.е. значения $S$ и $P$ следуют друг из друга; $SaiP$ значима, е.т.е. из значения $S$ следует значение $P$, но не наоборот; $SiaP$ значима, е.т.е. из значения $P$ следует значение $S$, но не наоборот; $SeP$ значима, е.т.е. из значения $S$ следует отрицание значения $P$; $SiiP$ значима, е.т.е. значения $S$ и $P$ не следуют друг из друга и из первого не следует отрицание второго. В~семантике для $\textbf{С4V}$ значениями общих терминов являются только выполнимые пропозициональные формулы. Доказываются метатеоремы об адекватности данных семантик исчислениям $\textbf{СФV}$ и $\textbf{С4V}$. Далее, семантика для $\textbf{СФV}$ модифицируется за счет замены классического следования на релевантное в определении значимости элементарных силлогистических формул. Строится исчисление $\textbf{ИСФV}$, аксиоматизирующее класс законов «релевантизированного» варианта силлогистики Венна. В заключение проводится сравнение всех предложенных систем по их дедуктивной силе.