Поточечные условия принадлежности функций весовым классам Соболева

Abstract

Согласно известной характеризации, функция $f$ принадлежит пространству Соболева $W^{p,1}(\mathbb{R}^n)$ функций, лежащих в $L^p(\mathbb{R}^n)$ вместе со своими обобщенными производными первого порядка, в точности тогда, когда существует такая функция $g\in L^p(\mathbb{R}^n)$, что $$ |f(x)-f(y)|\le |x-y|(g(x)+g(y)) $$ для почти всех пар $(x,y)$. Аналог этой оценки известен также для функций из гауссовского пространства Соболева $W^{p,1}(\gamma)$ в бесконечной размерности. В этой работе доказано обратное, более того, показано, что приведенное выше неравенство влечет принадлежность подходящему пространству Соболева для широкого класс мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах.