АРБЕЛОС І ПОВ'ЯЗАНІ З НИМ КОЛА

Abstract

Геометрія як наука зародилася в стародавній Греції, її аксіоматичні побудови описані в "Началах" Евкліда. Евклідова геометрія займалася вивченням найпростіших фігур на площині та в просторі. Грецькомовні математики, які жили в період між VI століттям до н.е. і V століттям н.е., поставили та розв’язали багато цікавих геометричних задач. Більшість цих задач розв’язувалася графічним шляхом, що вимагало виконання великої кількості різноманітних складних побудов. На той час вважалося, що "істинно геометричними" є ті задачі, які розв’язувалися тільки за допомогою таких "наукових інструментів" як циркуль та лінійка. Особливу увагу древньогрецькі математики приділяли одному із найважливіших геометричних образів – колу, яке навіть у ті часи знаходило широке практичне застосування. Суттєвий внесок у дослідження кола зробив Архімед Сіракузький, який вперше ввів поняття арбелос. Під арбелосом він розумів плоску геометричну фігуру, утворену деяким півколом, з якого вирізані два менших півкола з діаметрами, що лежать на діаметрі вихідного кола і розбивають його на дві частини. Таким чином, утворювався криволінійний трикутник, обмежений трьома півколами. У пропонованій роботі розглядається питання розв’язання відомих старовинних геометричних задач із застосуванням сучасних методів інженерної графіки, аналітичної геометрії та числових методів, без проведення додаткових побудов, які використовуються при графічному розв'язанні розглянутих задач. При числовій реалізації поставлена задача зводилася до розв’язання нелінійного рівняння з однією змінною. Нелінійні рівняння пов’язані із знаходженням радіусів вписаних або описаних кіл та координат їх центрів. У роботі, зокрема, побудовані коло, вписане в арбелос, спарені кола Архімеда, відомі як кола-близнюки, ланцюг Паппи Олександрійського. Спираючись на дослідження сучасних математиків, присвячених арбелосу, розв’язані задачі побудови кіл Банкова (Bankoff), Шоха (Schoch), Ву (Woo).