Функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и поворотом

Abstract

В статье рассматривается краевая задача в ограниченной плоской области для функционально-дифференциального уравнения второго порядка, содержащего комбинацию растяжений и поворотов старших производных искомой функции. Найдены необходимые и достаточные условия в алгебраической форме выполнения неравенства типа Гординга, обеспечивающего однозначную (фредгольмову) разрешимость, дискретность и секториальную структуру спектра задачи Дирихле. В литературе в данной ситуации принят термин сильно эллиптическое уравнение. Вывод упомянутых условий, выражаемых непосредственно через коэффициенты уравнения, основан на комбинации преобразований Фурье и Гельфанда элементов коммутативной $B^*$-алгебры, порожденной операторами растяжения и поворота. Основной момент здесь - выяснение структуры пространства максимальных идеалов этой алгебры. Доказано, что пространство максимальных идеалов гомеоморфно прямому произведению спектров оператора растяжения (окружность) и оператора поворота (вся окружность в случае, когда угол поворота $\alpha$ несоизмерим с $\pi$, и конечный набор точек на окружности, когда $\alpha$ соизмерим с $\pi$). Такое различие между двумя случаями для $\alpha$ приводит к тому, что в зависимости от $\alpha$ условия однозначной разрешимости краевой задачи могут иметь существенно разный вид и, например, для $\alpha$ соизмеримого с $\pi$, могут зависеть не только от абсолютной величины, но и от знака коэффициента при слагаемом с поворотом.