Аналитические и теоретико-числовые свойства двумерных сигма-функций

Abstract

Обзор посвящен классическим и современным задачам, связанным с целой функцией $\sigma({\bf u};\lambda)$, которая определяется семейством неособых алгебраических кривых рода 2, где ${\bf u}= (u_1,u_3)$, $\lambda=(\lambda_4, \lambda_6, \lambda_8, \lambda_{10})$. Эта функция является аналогом сигма-функции Вейерштрасса $\sigma({{u}};g_2,g_3)$ семейства эллиптических кривых. Логарифмические производные порядка 2 и выше функции ${\sigma({\mathbf{u}};\lambda)}$ порождают поле гиперэллиптических функций от ${\mathbf{u}} = (u_1,u_3)$ на якобианах кривых с фиксированным значением вектора параметров $\lambda$. Мы рассматриваем три ряда Гурвица $\sigma({\mathbf{u}};\lambda)=\sum_{m,n\ge0}a_{m,n}(\lambda)\frac{u_1^mu_3^n}{m!n!}$, $\sigma({\mathbf{u}};\lambda) = \sum_{k\ge 0}\xi_k(u_1;\lambda)\frac{u_3^k}{k!}$ и $\sigma({\mathbf{u}};\lambda) = \sum_{k\ge 0}\mu_k(u_3;\lambda)\frac{u_1^k}{k!}$. Обзор посвящен теоретико-числовым свойствам функций $a_{m,n}(\lambda)$, $\xi_k(u_1;\lambda)$ и $\mu_k(u_3;\lambda)$. Он включает самые последние результаты, доказательства которых использует тот фундаментальный факт, что функция $\sigma ({\mathbf{u}};\lambda)$ определяется системой четырех уравнений теплопроводности в неголономном репере шестимерного пространства.