최대 클릭 문제에 관한 최대차수 정점 기반 알고리즘

Abstract

본 논문은 NP-완전으로 알려진 최대 클릭의 정확한 해를 선형시간으로 찾는 알고리즘을 제안하였다. 먼저, 주어진 그래프 G=(V,E)에서 최대 차수 <TEX>${\Delta}(G)$</TEX> 정점 <TEX>$v_i$</TEX>를 클릭의 대표 정점으로 결정한다. <TEX>$v_i$</TEX> 인접 정점 <TEX>$N_G(v_i)$</TEX>에서 <TEX>${\Delta}(G)$</TEX> 정점 <TEX>$v_j$</TEX>를 선택하여 <TEX>$N_G(v_i){\cap}N_G(v_j)$</TEX>를 후보 클릭 w와 <TEX>$v_k$</TEX>로 결정한다. <TEX>$d_G(v_k)$</TEX> 내림차순으로 <TEX>$w=w{\cap}N_G(v_k)$</TEX>를 얻는다. 마지막으로, <TEX>$G{\backslash}w$</TEX>그래프에서 동일한 절차를 수행하여 얻은 클릭이 기존에 얻은 클릭과 동일하거나 크면 이 클릭을 선정하는 검증과정을 거쳤다. 이와 같은 방법으로 독립된 다수의 클릭도 얻을 수 있는 장점이 있다. 제안된 알고리즘을 다양한 정규와 비정규 그래프에 적용한 결과 모든 그래프에 대해 선형시간 O(n)으로 정확한 해를 구하였다. In this paper, I propose a linear time algorithm devised to produce exact solution to NP-complete maximum clique problem. The proposed algorithm firstly, from a given graph G=(V,E), sets vertex <TEX>$v_i$</TEX> of the maximum degree <TEX>${\Delta}(G)$</TEX> as clique's major vertex. It then selects vertex <TEX>$v_j$</TEX> of <TEX>${\Delta}(G)$</TEX> among vertices <TEX>$N_G(v_i)$</TEX> that are adjacent to <TEX>$v_i$</TEX>, only to determine <TEX>$N_G(v_i){\cap}N_G(v_j)$</TEX> as candidate cliques w and <TEX>$v_k$</TEX>. Next it obtains <TEX>$w=w{\cap}N_G(v_k)$</TEX> by sorting <TEX>$d_G(v_k)$</TEX> in the descending order. Lastly, the algorithm executes the same procedure on <TEX>$G{\backslash}w$</TEX> graph to compare newly attained cliques to previously attained cliques so as to choose the lower. With this simple method, multiple independent cliques would also be attainable. When applied to various regular and irregular graphs, the algorithm proposed in this paper has obtained exact solutions to all the given graphs linear time O(n).