Некоторые аспекты качественного анализа модели высокочастотной геоакустической эмиссии

Abstract

Геоакустическая эмиссия является индикатором напряженно-деформированного состояния геосферы, поэтому она играет важную роль в разработке методики прогнозирования сильных землетрясений в сейсмоактивных регионах, таких как Камчатка. В работе исследуются некоторые аспекты качественного анализа математической модели высокочастотной геоакустической эмиссии. Математическая модель высокочастотной геоакустической эмиссии представляет собой цепочку из двух связанных осцилляторов, которая описывается системой из двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с непостоянными коэффициентами. Непостоянные коэффициенты обладают свойством непрерывного затухания при больших временах. Каждое дифференциальное уравнение описывает импульс высокочастотной геоакустической эмиссии со своими характеристиками, а взаимодействие между импульсами – обмен энергией осуществляется с помощью коэффициента линейной связи. Для математической модели были исследованы вопросы существования и единственности решения, доказана соответствующая теорема на основе принципа сжимающих отображений из функционального анализа. Исследована устойчивость нулевого решения математической модели геоакустической эмиссии, результаты были сформулированы в виде теоремы, а также исследована устойчивость при больших временах с помощью критерия Рауса-Гурвица. Проведено исследование на жесткость, показано, какие параметры в модели могут влиять на жесткость исследуемой системы дифференциальных уравнений, приведена визуализация исследований зависимости жесткости от времени. С помощью численного метода Розенброка, реализуемого в среде компьютерной математики Maple были построены осциллограммы и фазовые траектории при различных условиях: наличия жесткости, неустойчивости и т.д. Проведена интерпретация результатов исследования и даны направления дальнейшего исследования математической модели высокочастотной геоакустической эмиссии. Geoacoustic emission is an indicator of the stress-strain state of the geosphere, so it plays an important role in the development of methods for predicting strong earthquakes in seismically active regions such as Kamchatka. The paper investigates some aspects of the qualitative analysis of the mathematical model of high-frequency geoacoustic emission. The mathematical model of high-frequency geoacoustic emission is a chain of two coupled oscillators, which is described by a system of two second-order linear ordinary differential equations with non-constant coefficients. Non-constant coefficients have the property of continuous damping at large times. Each differential equation describes a pulse of high-frequency geoacoustic emission with its own characteristics, and the interaction between pulses – energy exchange is carried out using a linear coupling coefficient. For a mathematical model, the existence and uniqueness of a solution were investigated, and the corresponding theorem was proved based on the contraction mapping principle from functional analysis. The stability of the zero solution of the mathematical model of geoacoustic emission was studied, the results were formulated in the form of a theorem, and the stability at large times was also studied using the Routh-Hurwitz criterion. A study of stiffness was carried out, it was shown which parameters in the model can affect the stiffness of the system of differential equations under study, and visualization of studies of the dependence of stiffness on time is given. Using the Rosenbrock numerical method implemented in the Maple computer mathematics environment, oscillograms and phase trajectories were constructed under various conditions: the presence of rigidity, instability, etc. The results of the study are interpreted and directions for further research of the mathematical model of high-frequency geoacoustic emission are given.