Об оптимальном управлении стохастическим уравнением с дробным винеровским процессом

Abstract

В теории стохастических дифференциальных уравнений в последние годы возникло новое направление исследований, а именно стохастические дифференциальные с дробным винеровским процессом. Такой класс процессов позволяет достаточно адекватно описывать многие реальные явления стохастической природы в финансовой математике, гидрологии, биологии и многих других областях. Эти явления в целом описываются не стохастическими системами, удовлетворяющими условиям сильного перемешивания или слабой зависимости, а системами с сильной зависимостью, и эта сильная зависимость регулируется так называемым параметром Харста, который является характеристикой этой зависимости. В данной работе исследуются задачи существования оптимального управления для стохастического дифференциального уравнения с дробным винеровским процессом. Относительно существования оптимального управления возникают те же трудности, что при исследовании задачи существования оптимального управления для стохастических уравнений с обычным винеровским процессом. Во многих реальных задачах класс допустимых управлений достаточно широк, и для оптимальных руководств могут не выполняться условия существования сильных решений для рассматриваемых уравнений. В статье рассматривается задача существования оптимального управления для стохастического дифференциального уравнения с дробным винеровским процессом, в котором присутствует коэффициент диффузии, дающий более точные результаты моделирования. Доказана теорема существования оптимального управления процессом, которому удовлетворяет соответствующее стохастическое дифференциальное уравнение. Основной результат получен с использованием теоремы Гирсанова для таких процессов и теоремы существования слабого решения стохастических уравнений с дробным винеровским процессом.