Силлогистика как логика всех отношений между двумя непустыми множествами

Abstract

В работе предлагается язык позитивной силлогистики, алфавит которого содержит все силлогистические константы. Сами эти константы понимаются как знаки отношений между двумя непустыми множествами (объемами двух общих терминов). Среди указанных отношений особое место занимают те, которым соответствует в точности одна из пяти диаграмм Эйлера--Жергонна: (1) равенство множеств, (2) строгое включение первого множества во второе, (3) строгое включение второго множества в первое, (4) перекрещивание множеств, (5) несовместимость множеств. Остальные отношения представляют из себя комбинации эйлеровских. Каждая константа $\textit{k}$ в предлагаемом силлогистическом языке кодируется последовательностью чисел от 1 до 5, указывающих на номера тех эйлеровских отношений, при которых простое высказывание форм $\textit{SkP}$ принимает значение <<истина>>. Например, отношение включения одного непустого множества в другое репрезентирует константа 12, а отношение совместимости двух непустых множеств – константа 1234.Задается точная теоретико-множественная семантика данного <<универсального>> языка, соответствующая интуитивному пониманию силлогистических констант. Вводятся понятия выразимости силлогистической константы в <<локальном>> языке, содержащем лишь некоторые из таких констант, и полноты множества исходных констант некоторого <<локального>> языка. Константа $k$ выразима в локальном силлогистическом языке с неким набором исходных силлогистических констант, если и только если в этом локальном языке найдется формула $A$, содержащая в точности два термина $S$ и $P$, такая что $A$ эквивалентна формуле $SkP$ в семантике универсального силлогистического языка. Множество силлогистических констант $\{k_1, k_2,..., k_m\}$ называется $\textit{полным}$, если и только если любая силлогистическая константа выразима в языке с исходными силлогистическими константами $k_1$, $k_2$,..., $k_m$. В качестве примера доказывается полнота множества исходных констант традиционной силлогистики ($\textit{a}$, $\textit{e}$, $\textit{i}$, $\textit{o}$) и множества исходных констант силлогистики Венна (знаков пяти эйлеровских отношений). В универсальном силлогистическом языке строится аксиоматическое исчисление, доказываются метатеоремы о его непротиворечивости и полноте.