Abstract
В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона-Никольского)для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве$L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ при $p\ge 1$ с периодическим весом Гегенбауэра$|\!\sin x|^{2\alpha+1}$:$$\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}}\frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},$$где $\|{\,\cdot\,}\|_{p}=\|{\,\cdot\,}\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$.Д. Джексон (1933) доказал, что $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ длявсех $n\ge 1$. Задача нахождения $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ имеетдолгую историю. Однако точные значения известны только при $p=2$. При $p=1$задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметимрезультаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Симонова,П. Ю. Глазыриной. Для $p>0$ отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Иванова,Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае -В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват.Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четномтригонометрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие,установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом$(1-x^{2})^{\alpha}$, исследованная В. В. Арестовым и М. В. Дейкаловой (2015).Доказательство следует их методу и базируется на положительном оператореобобщенного сдвига в пространстве $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ с периодическим весомГегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д.~В.~Чертовой (2009). Какприложение, предлагается подход к вычислению $\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ наоснове соотношений двойственности Арестова-Дейкаловой.
Highlights
ВведениеПусть I ⊂ R, v : I → R+ — некоторая весовая функция, p 1, Lp(I; v) — пространство Лебега функций f : I → C с конечной относительно веса v нормой
We propose an approach to computing Cp,α(n) based on the Arestov–Deikalova duality relations
Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // J. d’Analyse Math. 2019; arXiv:1708.09837. 2017. 21 p
Summary
Пусть I ⊂ R, v : I → R+ — некоторая весовая функция, p 1, Lp(I; v) — пространство Лебега функций f : I → C с конечной относительно веса v нормой Пусть T = (−π, π] — одномерный тор, α −1/2, vα(x) = |sin x|2α+1 — периодический вес Гегенбауэра (см., например, [11]), Lpα(T) = Lp(T; vα), n ∈ Z+, Tn — множество тригонометрических полиномов n. ∑︁ T (x) = (ak cos kx + bk sin kx), b0 = 0, k=0 порядка не выше n с комплексными коэффициентами ak, bk. В работе изучается точная константа Никольского разных метрик для периодического веса. ∑︀n k=0 ck xk степени не выше n ∈ Z+ с комплексными коэффициентами ck, множество которых обозначим через Pn. Пусть I = [−1, 1], Lpα(I) = Lp(I; (1 − x2)α) — пространство Лебега с алгебраическим весом Гегенбауэра, α −1/2. В работе [13] данные результаты обобщены на случай веса Якоби
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
