Застосування колокаційно-ітеративного методу до нелінійних інтегро-функціональних рівнянь

K G Geseleva,S O Kril

doi:10.32626/2308-5878.2020-21.62-68

Abstract

The article investigates the application of the collocation-iterative method to one type of nonlinear integro-functional equation. The conditions that guarantee the existence of a single solution of such an equation are given. The basic algorithm of the method is given and the conditions under which this method will be convergent are indicated. In substantiating this method, the fact is used that the original nonlinear integro-functional equation can be reduced to a nonlinear integral equation, the kernels of integral operators of which are written explicitly. Another important point in the justification is that the collocation-iterative method can be interpreted as a partial case of the projection-iterative method. The application of the latter to different types of nonlinear operator equations has been systematically investigated in the works of A. Y. Luchkа and his students. A significant difference between the method studied in this work is that at each step of the iteration it is necessary to solve systems of nonlinear algebraic or transcendental equations, which is the main technical complexity of this process. But the problem of finding solutions of such systems is simpler than solving the original nonlinear integro-functional equation. The article shows that the method of successive approximations and the method of collocation of the solution of the initial nonlinear equation can be considered as partial cases of the collocation-iterative method. In addition to the basic algorithm of the method, its computational algorithm is given, which is more convenient for direct calculations than the method itself and which, if necessary, can be successfully implemented on a computer by creating an appropriate program.

Highlights

Також важливим моментом при обґрунтуванні є те, що колокаційно-ітеративний метод можна трактувати як частковий випадок проекційно-ітеративного методу
У роботі [5] до рівняння (16) застосовується проекційно-ітеративний метод та приводиться схема його обґрунтування
Оскільки колокаційно-ітеративний метод можна розглядати, як окремий випадок проекційно-ітеративного, то, приймаючи до уваги приведені у згаданій роботі міркування, приходимо до висновку, що матиме місце твердження

Summary

Introduction

Також важливим моментом при обґрунтуванні є те, що колокаційно-ітеративний метод можна трактувати як частковий випадок проекційно-ітеративного методу. Суттєвою особливістю досліджуваного у роботі методу є те, що на кожному кроці ітерації потрібно розв’язувати системи нелінійних алгебраїчних чи трансцендентних рівнянь, що є основною технічною складністю цього процесу. У роботі показано, що метод послідовних наближень та метод колокації розв’язання вихідного нелінійного рівняння можна розглядати як часткові випадки колокаційно-ітеративного методу.

Results

Conclusion