Abstract
В работе выделен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами с нестепенными нелинейностями $$\sum\limits_{\alpha=1}^{n}(a_{\alpha}({\boldsymbol x},u,\nabla u))_{x_{\alpha}}-a_0({\boldsymbol x},u,\nabla u)=0.$$ На каратеодориевы функции, входящие в уравнение, накладывается условие совокупной монотонности. Ограничения на рост функций формулируются в терминах специального класса выпуклых функций. Эти требования обеспечивают ограниченность, коэрцитивность, монотонность и семинепрерывность соответствующего эллиптического оператора. Для рассматриваемых уравнений с нестепенными нелинейностями исследованы качественные свойства решений задачи Дирихле в неограниченных областях $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2$. Установлены существование и единственность обобщeнных решений в анизотропных пространствах Соболева-Орлича. Кроме того, для произвольных неограниченных областей обобщены теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича. Это позволило доказать глобальную ограниченность решений задачи Дирихле. Использована оригинальная геометрическая характеристика для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси. В терминах этой характеристики установлена экспоненциальная оценка скорости убывания на бесконечности решений рассматриваемой задачи с финитными данными.
Highlights
The paper highlighted some class of anisotropic elliptic equations of second order in divergence form with younger members with nonpower nonlinearities n (aα(x, u, ∇u))xα − a0(x, u, ∇u) = 0
For the considered equations with nonpower nonlinearities the qualitative properties of solutions of the Dirichlet problem in unbounded domains Ω ⊂ Rn, n 2 are studied
It makes possible to prove the global boundedness of solutions of the Dirichlet problem
Summary
Для рассматриваемых уравнений с нестепенными нелинейностями исследованы качественные свойства решений задачи Дирихле в неограниченных областях Ω ⊂ Rn, n 2. С. Климов в работе [15] для некоторого вида изотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями доказал глобальную ограниченность решений в ограниченных областях. Королёв [16] получил интегральный вариант теоремы вложения для функций из пространства Соболева Орлича, на его основе он доказал ограниченность решений для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в ограниченных областях. Для уравнений с нестепенными нелинейностями исследование скорости убывания решений на бесконечности в неограниченных областях ранее не проводилось. N -функция M (z) удовлетворяет ∆2-условию при больших значениях z, если существуют такие числа c > 0, z0 0, что M (2z) cM (z) для любых z z0. В дальнейшем в работе предполагается, что ∆2-условие для рассматриваемых N -функций выполняется при всех значениях z 0
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
