Определение траекторий наибыстрейшего движения материальной точки в горизонтальном векторном поле

Abstract

Предложено решение известной навигационной задачи Цермело классическими вариационными методами. Классическая задача Цермело в рамках теории оптимального управления формулируется следующим образом. Корабль должен пройти через область сильных течений, величина и направление скорости течения задаются как функции фазовых переменных. При этом задается относительная скорость корабля, модуль которой во время движения остается постоянным. Нужно найти такое оптимальное управление, которое обеспечивает прибытие корабля в заданную точку за минимальное время, то есть следует определить управление кораблем по быстродействию. Рассмотрено брахистохронное движение материальной точки в плоском векторном поле подвижной жидкости, для которого сформулирована классическая вариационная задача поиска экстремальных траекторий. Целью исследования является получение уравнений экстремальных траекторий движения, вдоль которых материальная точка перемещается от заданной стартовой точки к заданной финишной за кратчайшее время. Решение поставленной задачи осуществлялось с помощью классических методов теории вариационного числа. Для заданного варианта граничных условий установлены алгебраические уравнения экстремалей движения материальной точки в виде отрезков степеневого ряда. Проведен сравнительный анализ быстродействия как по экстремальным траекториям, так и альтернативным путем — по прямой линии, соединяющей две заданные точки старта и финиша. Анализ результатов показал, что рассматриваемая вариационная задача имеет две решения, которые отличаются лишь знаком. Однако только одно решение обеспечивает минимальное время перемещения материальной точки между двумя заданными. Также установлено, что экстремальная траектория брахистохронного движения точки не прямой, а имеет колебательный характер.
 Запропоновано розвʼязання відомої навігаційної задачі Цермело класичними варіаційними методами. Класична задача Цермело в рамках теорії оптимального керування формулюється таким чином. Корабель повинен пройти через область сильних течій, величина і напрямок швидкості течії задаються як функції фазових змінних. При цьому задається відносна швидкість корабля, модуль якої під час руху залишається сталим. Потрібно знайти таке оптимальне керування, яке забезпечує прибуття корабля в задану точку за мінімальний час, тобто слід визначити керування кораблем за швидкодією. Розглянуто брахістохронний рух матеріальної точки в плоскому векторному полі рухомої рідини, для якого сформульовано класичну варіаційну задачу пошуку екстремальних траєкторій. Метою дослідження є отримання рівнянь екстремальних траєкторій руху, уздовж яких матеріальна точка переміщується від заданої стартової точки до заданої фінішної за найкоротший час. Розвʼязання поставленої задачі здійснювалося за допомогою класичних методів теорії варіаційного числення. Для заданого варіанту граничних умов встановлені алгебраїчні рівняння екстремалей руху матеріальної точки у вигляді відрізків степеневого ряду. Проведено порівняльний аналіз швидкодії як за екстремальними траєкторіями, так і альтернативним шляхом — за прямою лінією, яка зʼєднує дві задані точки старту і фінішу. Аналіз результатів показав, що розглянута варіаційна задача має два розвʼязки, які відрізняються лише знаком. Однак тільки одне рішення забезпечує мінімальний час переміщення матеріальної точки між двома заданими. Також встановлено, що екстремальна траєкторія брахістохронного руху точки не є прямою, а має коливальний характер.