Сходимость приближенных решений ядром теплопроводности для уравнения переноса-диффузии в полуплоскости

Abstract

Рассматривается уравнение параболического типа (уравнение переноса-диффузии), которое используется, например, в задачах распространения загрязняющих веществ в атмосферном воздухе или водной среде. Имеется нескольких классических методов решения этого параболического уравнения, но также хорошо известно и вероятностное представление решения уравнения переноса-диффузии. Поскольку плотность распределения винеровского процесса соответствует ядру уравнения теплопроводности, с использованием ядра теплопроводности и оператора переноса на каждом шаге дискретизации времени можно построить приближенные решения уравнения переноса-диффузии в $ \mathbb{R}^d $. В предыдущих работах была доказана равномерная сходимость этих приближенных решений к функции, удовлетворяющей уравнению переноса-диффузии и начальному условию. Так как эти приближенные решения определяются только интегральным оператором и оператором переноса, доказательство их сходимости проводится без использования вероятностных понятий. В данной работе рассматривается уравнение переноса-диффузии в полуплоскости $ \mathbb{R}^2_+ $ с граничным условием на $ \{ x_2 = 0 \}$ и доказывается сходимость приближенных решений, построенных ядром теплопроводности и оператором переноса, к функции, удовлетворяющей уравнению переноса-диффузии в $ \mathbb{R}^2_{+} $, начальному и граничному условиям. Для получения этого результата используется метод нечетного продолжения заданных в $ \mathbb{R}^2_{+} $ функций на $ \mathbb{R}^2 $, поэтому применяются технические приемы предыдущих работ для задач в $ \mathbb{R}^d $. Тем не менее из-за наличия граничного условия остается проблема гладкости приближенных решений, для разрешения которой получаются оценки для производных приближенных решений, на которые влияют особенные данные на $ \{ x_2 = 0 \}$.