О динамике вихревой нити. Новый взгляд на проблему энергии и эффективной массы

Abstract

Рассматривается динамика бесконечной вихревой нити «нулевой толщины» в приближении локальной индукции. Асимптотически нить считается прямолинейной, причем предполагается существование в окружающем пространстве $E_3$ выделенного направления, задаваемого некоторым вектором ${\boldsymbol{b}}_3$, который и определяет асимптотики нити. Исследуется возможность интерпретации такого объекта как модели планарной «квазичастицы» с конфигурационным пространством (коллективных координат) в виде плоскости $E_2 \perp {\boldsymbol{b}}_3$ и внутренними степенями свободы. Построено гамильтоново описание динамики такой нити в терминах переменных, допускающих естественное разделение на две группы: «внешние» и «внутренние». Внешние гамильтоновы переменные (имеющие смысл координат и импульсов бесструктурной планарной частицы) и внутренние (соответствующие переменным модели магнетика Гейзенберга) перепутаны связями, что приводит к нетривиальности конструкции. Группа пространственной симметрии системы строится в два этапа: сжатие $ SO(3) \to E(2)$ и последующее расширение $E(2) \times T \to \tilde{\mathcal G}_2$. Здесь $E(2)$ - группа движений плоскости $E_2 \perp {\boldsymbol{b}}_3$, $T$ - группа временны́х сдвигов и $\tilde{\mathcal G}_2$ - центрально расширенная группа Галилея, действующая на указанной плоскости. Введение в модель группы Галилея позволяет ввести в рассмотрение инвариантные функции Казимира алгебры Ли данной группы и, как следствие, сформулировать новый подход к проблеме энергии бесконечной вихревой нити нулевой толщины. Получено также выражение для тензора обратной эффективной массы построенной динамической системы. Показано, что предложенную теорию можно рассматривать как математическую модель планарной вихревой частицы, обладающей бесконечным числом внутренних степеней свободы.