Компьютерно-аналитические методы решения вероятностных задач, возникающих при исследовании случайных точечных структур

Abstract

Предложен оригинальный подход к решению весьма трудных и не имеющих на сегодня точного аналитического решения проблемных вероятностных задач, возникающих при считывании случайных точечных полей. Представлены схемы прямого, итеративного и комбинаторно-рекурсивного аналитического расчетов многомерных интегральных выражений, которыми описываются частные решения таких задач (эти решения в дальнейшем используются для нахождения общих замкнутых аналитических зависимостей). Огромный объем требующихся вычислений вынудил авторов полностью формализовать алгоритмы и перенести на ЭВМ всю тяжесть рутинных аналитических выкладок. Проведенные вычисления помогли установить (а впоследствии и доказать) целый ряд новых, ранее неизвестных вероятностных формул, характеризующих надежность считывания случайных точечных изображений, когда такое считывание проводится многоуровневыми интеграторами. Таким образом, удалось реализовать (что в научной практике случается чрезвычайно редко) идею, высказанную в свое время Дж. фон Нейманом: исследователь, встречаясь с трудной и не поддающейся решению проблемой, прибегает к компьютерным расчетам, которые «подсказывают» ему правильный ответ, а затем этот подсказанный ответ он строго доказывает. Еще одна важная особенность исследований состоит в том, что введено новое понятие «трехмерные обобщенные числа Каталана» и найден их явный вид, знание которого было эффективно использовано при решении задач, связанных с регистрацией и анализом случайных точечных изображений. Ключевые слова: компьютерные аналитические вычисления, случайное точечное поле, многомерное интегрирование, трехмерные числа Каталана. This paper proposes an original approach to solving complicated probability problems (there is no exact analytical solution) that arise in the reading of random point fields. The schemes of direct, iterative, and combinatorial recursive analytical calculation of multidimensional integral expression that describes the particular solutions of such problems (these solutions are used then to find the general closed analytic dependencies) are shown. A huge amount of required computations forced us to formalize all the algorithms and transfer routine analytical calculations to a computer. The calculations helped us to establish (and later prove) new set of previously unknown probabilistic formulas describing the reliability of reading random point images when such a reading is based on multilevel integrators. Thus, we were able to demonstrate the implementation of the idea proposed by John Von Neumann (extremely rare case in scientific practice): researcher meet difficult and unsolvable problem, use the computer to suggest him the right answer, then finds a rigorous proof. Another important feature of our study is that we introduced a new concept of three-dimensional generalized Catalan numbers and found their explicit form; this knowledge has been effectively used by us in solving problems related to the registration and analysis of random point images.