Разрешимость в классическом смысле задачи Пуассона для оператора Лапласа на двумерных стратифицированных множествах

Abstract

Моделирование сложных физических систем часто сводится к исследованию уравнений на страти-фицированных множествах (связных объединениях многообразий — стратов различной размерности).Например, задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран иупругих тел, или задача о диффузии в слоистой среде.Исследование эллиптических дифференциальных уравнений на стратифицированных множествахактивно проводится в настоящее время О. М. Пенкиным. Основные результаты о разрешимостиэллиптических уравнений в этой области изложены в работах [1–3]. В них были получены усло-вия слабой разрешимости для уравнений с «жестким» лапласианом и классической разрешимостидля уравнений с «мягким» лапласианом. Было установлено, что для существования решений этихуравнений необходимо, помимо наложения ограничений на гладкость коэффициентов, входящих вуравнение, вводить ограничения на структуру стратифицированного множества. Так, в [1] доказа-но, что существование слабого решения обеспечивается на множествах, удовлетворяющих условиюпрочности, которое означает, что для каждого страта существует цепочка из стратов, соединяющаяего с границей стратифицированного множества, причем размерности соседних стратов цепочки от-личаются не больше чем на единицу и сама цепочка содержит только один страт, принадлежащийгранице стратифицированного множества. В то же время условие прочности является недостаточнымдля существования классического решения. С целью установления существования классического ре-шения для уравнения с «мягким» лапласианом было введено более строгое ограничение на структурумножества [2]. Классическая разрешимость обеспечивается на стратифицированном множестве, у ко-торого достаточно малая окрестность любого страта, размерность которого меньше на 2 или более