Существование решений квазилинейных эллиптических уравнений в пространствах Музилака-Орлича-Соболева для неограниченных областей

Abstract

Рассматривается вопрос существования решений задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях. Ограничения на структуру квазилинейных уравнений формулируются в терминах специального класса выпуклых функций - обобщенных $N$-функций. А именно, нелинейности определяются функциями Музилака-Орлича такими, что дополнительные к ним функции подчиняются $\Delta_2$-условию. Соответствующее пространство Музилака-Орлича-Соболева не обязано быть рефлексивным. Именно этот факт является существенной проблемой, поскольку теорема для псевдомонотонных операторов здесь не применима. Для рассматриваемого класса уравнений доказательство теоремы существования проводится на основе абстрактной теоремы для дополнительных систем. Важным инструментом, который позволил обобщить имеющиеся результаты существования решений рассматриваемых уравнений для ограниченных областей на неограниченные области, является теорема вложения пространств Музилака-Орлича-Соболева. Таким образом, в работе найдены условия на структуру квазилинейных уравнений в терминах функций Музилака-Орлича, достаточные для разрешимости задачи Дирихле в неограниченных областях. Кроме того, приведены примеры уравнений, показывающие, что класс нелинейностей, рассматриваемый в работе, шире, чем нестепенные и степенные нелинейности.