Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка с оператором Геллерстедта в главной части

Abstract

Рассматривается нагруженное вырождающееся гиперболическое уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Главная часть уравнения представляет собой оператор Геллерстедта. Нагруженное слагаемое представляет собой след искомого решения на линии вырождения, которая лежит внутри области. Исследуется задача с данными на одной из характеристик исследуемого уравнения. В модельном случае, когда коэффициенты при младших членах обращаются в ноль, решение задачи Гурса выписано в явном виде. При этом использовалась функция Грина-Адамара для уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона. В общем случае разрешимость задачи Гурса эквивалентным образом редуцирована к вопросу о разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В этом случае использована схема, реализованная С. Геллерстедтом при доказательстве существования решения второй задачи Дарбу для рассматриваемого уравнения без нагрузки. В обоих случаях существенно использовались известные свойства функции Грина-Адамара.