Une base explicite de symboles modulaires sur les corps de fonctions

Abstract

Abstract Les symboles modulaires pour le sous-groupe Γ 0 ⁢ ( 𝔫 ) $\Gamma_{0}(\mathfrak{n})$ de GL 2 ⁢ ( 𝔽 q ⁢ [ T ] ) $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{F}_{q}[T])$ , définis par Teitelbaum, possèdent une présentation par un nombre fini de générateurs et relations, dans un formalisme similaire à celui de Manin pour les symboles modulaires classiques. Nous résolvons complètement ces relations et donnons une base explicite de générateurs lorsque 𝔫 $\mathfrak{n}$ est un idéal premier de degré impair. Comme application, nous donnons un énoncé de non-annulation de fonctions L de certaines formes automorphes pour 𝔽 q ⁢ ( T ) $\mathbb{F}_{q}(T)$ . Le résultat principal est aussi un argument-clé pour un énoncé en direction de la conjecture de borne uniforme pour les modules de Drinfeld de rang 2. Modular symbols for the subgroup Γ 0 ⁢ ( 𝔫 ) $\Gamma_{0}(\mathfrak{n})$ of GL 2 ⁢ ( 𝔽 q ⁢ [ T ] ) $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{F}_{q}[T])$ have been defined by Teitelbaum. They have a presentation given by a finite number of generators and relations, in a formalism similar to Manin’s for classical modular symbols. We completely solve the relations and get an explicit basis of generators when 𝔫 $\mathfrak{n}$ is a prime ideal of odd degree. As an application, we give a non-vanishing statement for L-functions of certain automorphic cusp forms for 𝔽 q ⁢ ( T ) $\mathbb{F}_{q}(T)$ . The main statement also provides a key step for a result towards the uniform boundedness conjecture for Drinfeld modules of rank 2.