Transparent mirrors: rays, waves and localization

Abstract

A stack of transparent plates with randomly varying thicknesses (e.g. viewgraphs) reflects light perfectly, as a result of the accumulation of reflections from interfaces at the air gaps separating the plates. Two theories of this effect are discordant. The naive ray theory assumes that the random phases associated with the thickness variations make all the reflections incoherent, and predicts that the transmitted intensity decays as 1/N. This theory is wrong because some distinct multiply reflected waves have identical path lengths and so superpose coherently. The true decay is exponential: exact averaging of the logarithm of the transmitted intensity over the random phases, assuming these are uniformly distributed modulo , gives the transmitted intensity as , where is the intensity transmittance of a single interface. Transparent mirrors are naked-eye examples of the localization of light, for which the localization length (inverse decay exponent) can be calculated exactly. Experiments confirm the exponential decay. Zusammenfassung. Ein Stapel von transparenten Platten mit beliebig variierender Dicke (z.B.Overhead-Folien) reflektiert Licht perfekt. Diese perfekte Reflexion ist das Ergebnis der Akkumulation von Reflexionen an den Grenzflächen der Luftspalte zwischen den Platten. Die zwei Theorien dieses Effektes stimmen nicht überein. Die naive Strahlen-Theorie nimmt an, daß die beliebigen Phasen, die mit den Variationen der Plattendicke verknüpft sind, zu absolut inkoherenten Reflexionen führen und sagt einen 1/N Verlauf für die durchgelassene Intensität voraus. Diese Theorie ist falsch, da einige der mehrfach reflektierten Wellen identische Weglängen haben und daher koherent überlagern. Der wahre Verlauf ist exponential: exakte Mittelung des Logarithmus der durchgelassenen Intensität über die beliebigen Phasen, unter der Annahme sie seien gleichmässig verteilt modulo , führt zur durchgelassenen Intensität , wo die durchgelassene Intensität einer einzelnen Grenzfläche ist. Durchsichtige Spiegel sind Beispiele der Lokalisation des Lichtes für das unbewaffenete Auge, für die die Lokalisationslänge (inverser Exponentialkoeffizient) exakt berechnet werden kann. Experimente bestätigen den exponentialen Verlauf.