Total variation distance and the Erdős–Turán law for random permutations with polynomially growing cycle weights

Abstract

Nous nous intéressons à un modèle de permutations aléatoires de $n$ éléments, avec des poids polynomiaux en les longueurs des cycles, qui a été étudié notamment par Ercolani et Ueltschi. En utilisant l’analyse des points selles des transformées de Fourier, nous montrons que la distance en variation totale entre la suite des nombres de cycles de tailles $1,2,\ldots,b$ et une certaine suite $(Z_{1},Z_{2},\ldots,Z_{b})$ de variables de Poisson indépendantes, converge vers $0$ quand $n\to\infty$ si et seulement si $b=o(\ell)$, où $\ell$ désigne la longueur d’un cycle typique de ce modèle. À l’aide de ce résultat, nous établissons ensuite un théorème central limite pour l’ordre de la permutation, étendant ainsi la loi d’Erdős–Turán. Enfin, nous démontrons le caractère brownien pour la limite des petits cycles.