Abstract
We study a problem of a number of lattice plane tilings by given area polyominoes. A polyomino is a connected plane geometric figure formed by joining edge to edge a finite number of unit squares. A tiling is a lattice tiling if each tile can be mapped to any other tile by translation which maps the whole tiling to itself. Let T(n) be a number of lattice plane tilings by given area polyominoes such that its translation lattice is a sublattice of Z². It is proved that 2n−3 + 2[ n−3 2 ] ≤ T(n) ≤ C(n + 1)3 (2.7)n+1. In the proof of a lower bound we give an explicit construction of required lattice plane tilings. The proof of an upper bound is based on a criterion of the existence of lattice plane tiling by polyomino and on the theory of self-avoiding walk. Also, it is proved that almost all polyominoes that give lattice plane tilings have sufficiently large perimeters.
Highlights
We study a problem of a number of lattice plane tilings
we give an explicit construction of required lattice plane tilings
upper bound is based on a criterion of the existence
Summary
Рассматривается задача о числе решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади. Пусть T (n) – число решетчатых разбиений плоскости на полимино площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки. Возникает задача подсчитать число T (n) решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади n, решетка периодов которых является подрешеткой Z2. Для числа T (n) решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z2, справедлива следующая оценка:. Для получения верхней оценки числа решетчатых разбиений плоскости на полимино остается просуммировать предыдущую оценку по p от 1 до n + 1:. Пусть T1(n) – число решетчатых разбиений плоскости на полимино площади n и полупериметра p < 0, 697n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z2. √ 2[ n] ≤ p ≤ n + 1, данная теорема фактически означает, что почти все решетчатые разбиения плоскости порождаются полимино большого периметра. T1(n) ≤ C(0, 697)3(2, 7)0697, и остается заметить, что (2, 7)0,697 < 2
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
