Abstract

Nous présentons des résultats qui relient les temps de mélange au temps d’intersection d’une marche aléatoire branchante (BRW) dans laquelle le logarithme du nombre moyen de particules croît au taux du trou spectral gap. Il s’agit d’un analogue en espace d’état fini d’un processus de branchement critique. Plus précisément, nous montrons que le maximum de l’espérance du temps d’atteinte d’un état par une telle BRW est à une constante universelle près, plus grand que le temps de mélange L∞, alors que sous transitivité le même résultat est vrai pour le temps d’intersection de deux telles BRW indépendantes. En utilisant la même méthodologie, nous montrons que pour une suite de chaînes de Markov réversibles, les temps de mélange L∞ tmix(∞) sont d’ordre inférieur aux temps d’atteinte maximaux thit si et seulement si le produit du trou spectral et de thit diverge, en établissant l’inégalité tmix(∞)≤1gaplog(ethit·gap). Ceci résout une conjecture d’Aldous et Fill “Reversible Markov chains and random walks on graphs” Open Problem 14.12 affirmant que sous transitivité la condition thit≫1gap implique un comportement de champ moyen pour le temps de coalescence des marches aléatoires coalescentes.

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