Abstract
Neste trabalho estudamos condições necessárias e suficientes para que uma equação diofantina linear sobre um domínio euclidiano tenha solução. Apresentamos uma série de algoritmos (funções) que podem ser implementados em planilhas eletrônicas (por exemplo LibreOffice Calc, Microsoft Excel, etc.), com o intuito de determinar (caso existam) soluções de equações diofantinas sobre Z[i].
Highlights
Neste trabalho apresentamos uma revisao bibliografica sobre resolucao de equacoes diofantinas sobre domınios euclidianos e desenvolvemos uma serie de algoritmos que implementamos em planilhas eletronicas do LibreOffice para determinarmos solucoes de equacoes diofantinas sobre o domınio do inteiros gaussianos Z[i]
Solucoes de equacoes diofantinas com coeficientes nos inteiros gaussianos por meio de planilhas eletronicas 3 euclidianos e algumas consequencias desse que serao utilizadas na Secao 4, onde apresentamos uma condicao necessaria e suficiente para que uma equacao diofantina tenha solucao
Na Secao 6, descrevemos uma serie de algoritmos que implementamos em uma planilha eletronica do LibreOffice e que permitem obter o quociente e o resto da divisao de dois inteiros gaussianos, um maximo divisor comum de dois elementos de Z[i], as constantes de Bezout e as solucoes de uma equacao diofantina sobre Z[i]
Summary
Esta secao ededicada a fixarmos algumas notacoes, definicoes e resultados que sao bem conhecidos e que usaremos no decorrer do trabalho. Z eum domınio com mdc (veja Hefez (2016) ou Milies e Coelho (2001)). Existe u ∈ U(A) (conjunto dos elementos invertıveis de A) tal que d = du. Em Z, por exemplo, nos escolhemos o mdc entre a e b, como sendo positivo, mesmo sabendo que seu oposto tambem eum mdc. Quando escrevemos d = mdc(a, b), queremos dizer que d eum elemento de A que satisfaz a Definicao 2.7. (Lema de Euclides) Sejam A um domınio e a, b ∈ A, tais que a = bq + r para certos q, r ∈ A. Se existe d = mdc(b, r), entao existem m, n ∈ A tal que b = dm e r = dn.
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