Abstract

Este trabalho tem por intenção divulgar o já conhecido Conjunto de Cantor. A ideia é exibir uma demonstração mais detalhada de algumas propriedades importantes que ele possui, não sendo, de certa forma, tão comum encontrá-las em textos em português. Também veremos que, a menos de homeomorfismo, o Conjunto de Cantor é o único, como espaço métrico, com todas as propriedades indicadas.

Highlights

  • Este trabalho possui como objetivo contemplar e demonstrar propriedades do Conjunto de Cantor

  • Uma metrica no conjunto M euma funcao d : M ×M −→ R que associa, a cada par ordenado de elementos (x, y) ∈ M × M, um numero real nao negativo d(x, y) denominado distancia de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condicoes, para quaisquer x, y, z ∈ M : (D1) d(x, x) = 0; (D2) x = y ⇒ d(x, y) > 0; (D3) d(x, y) = d(y, x); (D4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

  • Os elementos de K podem ser escritos na base 3, conforme Definicao 2.16

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Summary

Espacos metricos

Utilizamos, em grande parte, Munkres (2000) e Willard (2004). Definica ̃ o 2.1. Uma metrica no conjunto M euma funcao d : M ×M −→ R que associa, a cada par ordenado de elementos (x, y) ∈ M × M , um numero real nao negativo d(x, y) denominado distancia de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condicoes, para quaisquer x, y, z ∈ M :. O par (M, d) echamado espaco metrico. Seja d : R × R −→ R, dada por d(x, y) = |x − y|, a funcao que define a distancia entre dois pontos x, y ∈ R. O par (R, d) eum exemplo de espaco metrico. Para n ∈ N, n ≥ 2, qualquer espaco Rn, com a metrica do soma, do maximo ou euclidiana, sao exemplos de espacos metricos

Espacos topologicos
Conexidade
Conjunto de Cantor
K etotalmente desconexo
K ecompacto
K eperfeito
K enao enumeravel
Uma propriedade adicional do Conjunto de Cantor
Duas propriedades topologicas
Comentarios finais
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