Properties of the spectrum of an elliptic boundary value problem with a parameter and a discontinuous nonlinearity

Abstract

Изучается эллиптическая краевая задача Дирихле с неотрицательным параметром $\lambda$, входящим в разрывную нелинейность мультипликативно (нелинейность находится в правой части уравнения). Нелинейность обращается в нуль при значениях фазовой переменной, не превосходящих по модулю некоторого положительного числа, и имеет подлинейный рост на бесконечности. В случае однородных граничных условий устанавливается замкнутость спектра $\sigma$ рассматриваемой нелинейной задачи ($\sigma$ состоит из тех значений параметра, при которых краевая задача имеет ненулевое решение). Получены положительная оценка снизу и оценка сверху для наименьшего значения спектра $\lambda^*$. Также рассматривается ситуация, когда граничная функция положительная, а нелинейность равна нулю при неотрицательных значениях фазовой переменной и неположительная при отрицательных. Данная задача преобразуется к задаче с однородными граничными условиями. При дополнительном предположении, что нелинейность равна разности неубывающих по фазовой переменной функций, доказывается, что $\sigma=[\lambda^*,+\infty)$ и для каждого $\lambda\in\sigma$ задача имеет нетривиальное полуправильное решение. Если существует положительная постоянная $M$ такая, что сумма нелинейности и функции $Mu$ - неубывающая по фазовой переменной $u$ функция, то для любого $\lambda\in\sigma$ краевая задача имеет минимальное нетривиальное решение $u_\lambda(x)$. Искомое решение полуправильное и отображение $u_\lambda(x)$ убывающее по $\lambda$ на $[\lambda^*,+\infty)$. Рассмотрены приложения полученных результатов к математической модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости. Библиография: 37 названий.