Phase transition for the vacant set left by random walk on the giant component of a random graph

Abstract

Nous étudions la marche aléatoire sur la composante principale d’un graphe aléatoire d’Erdős–Rényi avec $n$ sommets, en particulier l’ensemble vacant au niveau $u$, le complément de la trajectoire de la marche aléatoire jusqu’à un moment proportionnel à $u$ et $n$. Nous prouvons que la structure de composant montre une transition de phase à un valeur critique $u_{\star}$ : Pour $u<u_{\star}$ l’ensemble vacant se compose, avec une forte probabilité quand $n$ croît, d’une seule composante principale avec volume d’ordre $n$ et des composantes petites d’ordre au plus $\log^{7}n$, alors que pour $u>u_{\star}$ tous les composants sont petits. En outre nous montrons que $u_{\star}$ coïncide avec le paramètre critique des entrelacs aléatoires sur un arbre de Poisson–Galton–Watson identifié en (Electron. Commun. Probab. 15 (2010) 562–571).