Pattern avoidance in alternating permutations and tableaux (extended abstract)

Abstract

We give bijective proofs of pattern-avoidance results for a class of permutations generalizing alternating permutations. The bijections employed include a modified form of the RSK insertion algorithm and recursive bijections based on generating trees. As special cases, we show that the sets $A_{2n}(1234)$ and $A_{2n}(2143)$ are in bijection with standard Young tableaux of shape $\langle 3^n \rangle$. Alternating permutations may be viewed as the reading words of standard Young tableaux of a certain skew shape. In the last section of the paper, we study pattern avoidance in the reading words of standard Young tableaux of any skew shape. We show bijectively that the number of standard Young tableaux of shape $\lambda / \mu$ whose reading words avoid $213$ is a natural $\mu$-analogue of the Catalan numbers. Similar results for the patterns $132$, $231$ and $312$. Nous présentons des preuves bijectives de résultats pour une classe de permutations à motifs exclus qui généralisent les permutations alternantes. Les bijections utilisées reposent sur une modification de l'algorithme d'insertion "RSK" et des bijections récursives basées sur des arbres de génération. Comme cas particuliers, nous montrons que les ensembles $A_{2n}(1234)$ et $A_{2n}(2143)$ sont en bijection avec les tableaux standards de Young de la forme $\langle 3^n \rangle$. Une permutation alternante peut être considérée comme le mot de lecture de certain skew tableau. Dans la dernière section de l'article, nous étudions l'évitement des motifs dans les mots de lecture de skew tableaux généraux. Nous montrons bijectivement que le nombre de tableaux standards de forme $\lambda / \mu$ dont les mots de lecture évitent $213$ est un $\mu$-analogue naturel des nombres de Catalan. Des résultats analogues sont valables pour les motifs $132$, $231$ et $312$.