On uniform lower bound of the Galois images associated to elliptic curves

Abstract

Soit p un nombre premier et K un corps de nombres. Soit ρ E,p :G K →Aut(T p E)≅GL 2 (ℤ p ) la représentation Galoisienne donnée par l’action du groupe de Galois sur le module de Tate p-adique d’une courbe elliptique E définie sur K. Serre a prouvé que l’image de ρ E,p est ouverte si E n’a pas de multiplication complexe. Pour E une courbe elliptique définie sur K et dont l’invariant j n’appartient pas à un ensemble fini exceptionnel (qui est non explicite cependant), nous donnons une minoration uniforme et explicite de la taille de l’image de ρ E,p .