Abstract
In 1973, Allenby and Gregoras proved the following statement. Let G be a split extension of a finitely generated group A by the group B. 1) If in groups A and B all subgroups (all cyclic subgroups) are finitely separable, then in group G all subgroups (all cyclic subgroups) are finitely separable; 2) if in group A all subgroups are finitely separable, and in group B all finitely generated subgroups are finitely separable, then in group G all finitely generated subgroups are finitely separable. Recall that a group G is said to be a split extension of a group A by a group B, if the group A is a normal subgroup of G, B is a subgroup of G, G = AB and A ∩ B = 1. Recall also that the subgroup H of a group G is called finitely separable if for every element g of G, which does not belong to the subgroup H, there exists a homomorphism of G on a finite group in which the image of an element g does not belong to the image of the subgroup H. In this paper we obtained a generalization of the Allenby and Gregoras theorem by replacing the condition of the finitely generated group A by a more general one: for any natural number n the number of all subgroups of the group A of index n is finite. In fact, under this condition we managed to obtain a necessary and sufficient condition for finite separability of all subgroups (of all cyclic subgroups, of all finitely generated subgroups) in the group G.
Highlights
В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение
Позже был приведен более простой аналогичный пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклическим объединением [6]
Здесь можно использовать те же методы, что и для свойства финитной аппроксимируемости
Summary
В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение. Пусть G – расщепляемое расширение конечно порожденной группы A с помощью группы B. 1) Если в группах A и B все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы, то и в группе G все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы; 2) если в группе A все подгруппы финитно отделимы, а в группе B все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы, то в группе G все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Что подгруппа H группы G называется финитно отделимой, если для каждого элемента g группы G, не принадлежащего подгруппе H, существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором образ элемента g не принадлежит образу подгруппы H. Что подгруппа H группы G называется финитно отделимой [1], если для каждого элемента g группы G, не принадлежащего подгруппе H, существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором образ элемента g не принадлежит образу подгруппы H.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
