Abstract
Recently the authors of the article discovered a meaningful class of non-reversible endomorphisms on a two-dimensional torus. A remarkable property of these endomorphisms is that their non-wandering sets contain nontrivial one-dimensional strictly invariant hyperbolic basic sets (in the terminology of S. Smale and F. Pshetitsky) which have the uniqueness of an unstable one-dimensional bundle. It was proved that nontrivial (other than periodic isolated orbits) invariant sets can only be repellers. Note that this is not the case for reversible endomorphisms (diffeomorphisms). In the present paper, it is proved that one-dimensional expanding uniquely hyperbolic and strictly invariant one-dimensional expanding attractors and one-dimensional contracting repellers of non-reversible A-endomorphisms of closed orientable surfaces have the local structure of the product of an interval by a zero-dimensional closed set (finite or Cantor). This result contrasts with the existence of one-dimensional fractal repellers arising in complex dynamics on the Riemannian sphere and not possessing the properties of the existence of a single one-dimensional unstable bundle.
Highlights
The authors of the article discovered a meaningful class of non-reversible endomorphisms on a two-dimensional torus
A remarkable property of these endomorphisms is that their non-wandering sets contain nontrivial one-dimensional strictly invariant hyperbolic basic sets
It is proved that one-dimensional expanding uniquely hyperbolic and strictly invariant one-dimensional expanding attractors and one-dimensional contracting repellers of nonreversible A-endomorphisms of closed orientable surfaces have the local structure of the product of an interval by a zero-dimensional closed set
Summary
Под эндоморфизмом мы понимаем C1-гладкое сюрьективное отображение многообразия на себя. Точка x ∈ M эндоморфизма f : M → M называется неблуждающей, если для любой окрестности U точки x и любого i0 ∈ N найдется i ≥ i0 такое, что f i(U ) ∩ U= ∅. Гиперболическое множество Λ называется однозначно гиперболическим, или множеством с однозначно определенным неустойчивым расслоением, если неустойчивое подрасслоение Eu(x0) не зависит от отрицательной полу-орбиты {xi}0i=−∞ для любой точки x0 ∈ Λ. Базисное множество Ωa называется аттрактором, если существует окрестность U множества Ωa такая, что. Аттрактор Ωa называется растягивающимся, если его топологическая размерность равна размерности неустойчивого подрасслоения Eu(x0) = Eu(x0, {xi}0i=−∞) для любой точки x0 ∈ Ωa и любой отрицательной полу-орбиты {xi}0i=−∞ ⊂ Ωa. Следующее утверждение контрастирует с ситуацией, когда эндоморфизм является диффеоморфизмом, даже если аттрактор эндоморфизма строго инвариантный и имеет однозначно определенное неустойчивое расслоение (для диффеоморфизма это выполняется автоматически).
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
