On exact large deviation principles for compound renewal processes

Abstract

Рассматриваются два принципа больших уклонений (п.б.у.) - "обычный" (при выполнении "усиленного" условия Крамера) и "расширенный", когда выполнено лишь стандартное условие Крамера, а функционал уклонений может быть конечным и для разрывных траекторий. Стандартная формулировка этих принципов содержит две асимптотические оценки (сверху и снизу) для логарифмов вероятностей того, что нормированная траектория процесса принадлежит заданному множеству $B$. Найдены условия на множество $B$, при которых эти оценки совпадают и принципы больших уклонений принимают форму точных асимптотических равенств. Такие п.б.у. названы точными. Установлено, что оценивающий отрезок обычного п.б.у. вложен в оценивающий отрезок расширенного п.б.у. и что, стало быть, выполнение точного расширенного п.б.у. влечет за собой выполнение точного обычного п.б.у. Полученные результаты в полной мере справедливы и актуальны для случайных блужданий (частного случая обобщенных процессов восстановления).