On coefficients of null-series and on sets of uniqueness of trigonometric and Walsh systems

Abstract

В работе доказываютс я следующие утвержде ния. Теорема I.Пустьɛn↓0u\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\varepsilon _n^2 = + \infty } \).Тогд а существует множест во Е⊂[0, 1]с μЕ=0 такое что:1. Существует ряд\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n W_n } (t)\)с к оеффициентами ¦аn¦≦{in¦n¦, который сх одится к нулю всюду вне E и e∥an∥>0.2. Если bn¦=о(en)и ряд\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n W_n (t)} \)сх одится к нулю всюду вн е E за исключением быть может некоторого сче тного множества точе к, то bn=0для всех п. Теорема 3.Пусть ɛn↓0u\(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \frac{{\varepsilon _n }}{{\varepsilon _{2n} }}< \sqrt 2 \)Тогд а существует множест во E⊂[0, 1] с υ E=0 такое, что: 1. Существует ряд\(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {a_n e^{inx} ,} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_n } \right|} > 0,\) кот орый сходится к нулю в сюду вне E и ¦an≦¦n¦ для n=±1, ±2, ... 2. Если ряд\(\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {b_n e^{inx} } \) сходится к нулю всюду вне E и ¦bv¦=о(e ¦n¦), то bn=0 для всех я. Теорема 5. Пусть послед овательности S(1)={e0(1), e1(1), e2(1), ...} u S2=e0(2), e1(2). e2(2) монотонно стремятся к нулю,\(\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varepsilon ^{(i)} /\varepsilon _{2n}^{(i)} O н айдется множество Е⊂ [-π,π], μE >2π — e, которое является U(S1), но не U(S1) — множеством для тригонометричес кой системы. Аналог теоремы 5 для си стемы Уолша был устан овлен в [7].