Nonconventional moderate deviations theorems and exponential concentration inequalities

Abstract

Nous obtenons un theoreme de deviations moderees et des inegalites de concentration exponentielles (du type de Bernstein) pour des sommes «non-conventionnelles» de la forme $S_{N}=\sum_{n=1}^{N}(F(\xi_{q_{1}(n)},\xi_{q_{2}(n)},\ldots,\xi_{q_{\ell}(n)})-\bar{F})$, ou la plupart du temps nous considerons $q_{i}(n)=in$, mais nos resultats restent aussi vrais pour des $q_{i}(n)$ plus generaux tels que des polynomes. Ici, $\xi_{n}$, $n\geq 0$ est un processus vectoriel suffisamment melangeant avec des conditions de stationnarite, $F$ est une fonction satisfaisant certaines proprietes de regularite et $\bar{F}$ est une constante de centrage. Quand $\xi_{n}$, $n\geq 0$ sont independants et identiquement distribues, un principe de grande deviation a ete obtenu dans (Probab. Theory Related Fields 158 (2014) 197–224) et un des objectifs de cet article est d’obtenir des resultats analogues dans le cas faiblement dependant. Plusieurs resultats de type approximation normale sont aussi obtenus. En particulier, deux nouvelles preuves du theoreme central limite non-conventionnel sont donnees et une inegalite de type Rosenthal est obtenue. Nos resultats sont vrais par exemple quand $\xi_{n}=(T^{n}f_{i})_{i=1}^{\wp}$ ou $T$ est un sous-shift de type fini topologiquement melangeant, une application Gibbs–Markov, un diffeomorphisme hyperbolique, une tour de Young ou une transformation expansive pour une mesure invariante de Gibbs, tout comme dans le cas ou $\xi_{n}$, $n\geq 0$ forme une suite stationnaire exponentiellement (ou streched exponentiellement) $\phi$-melangeante, ce qui, par exemple, et vrai lorsque $\xi_{n}=(f_{i}(\Upsilon_{n}))_{i=1}^{\wp}$ ou $\Upsilon_{n}$ est une chaine de Markov satisfaisant une condition de Doeblin, consideree comme un processus stationnaire par rapport a une mesure invariante.