Maximum of branching Brownian motion in a periodic environment

Abstract

Nous étudions le maximum du mouvement Brownian branchant (BBM) avec des taux de branchement qui varient en l’espace, via une fonction périodique. Ceci correspond à une variante de l’équation de F-KPP en milieu périodique, largement étudiée au cours des 15 dernière années, qui admet des fronts pulsés comme solutions. Les progrès récents sur cette EDP de Hamel, Nolen, Roquejoffre and Ryzhik (’16) impliquent la tension du maximum centré du BBM en milieu périodique. Ici, nous établissons la convergence en distribution de sous-suites spécifiques de ce maximum centré, et identifions la loi limite. Par conséquent, nous trouvons le décalage asymptotique entre la solution de l’équation F-KPP correspondante avec les données initiales Heavyside et l’onde pulsatoire, répondant ainsi à une question de Hamel et al. Des résultats analogues sont donnés pour les cas où le mouvement Brownien est remplacé par une diffusion de Ito à coefficients périodiques, ainsi que pour les marches aléatoires branchantes au plus proche voisin.