El teorema de representación de Riesz a partir del teorema de Krein-Milman

Abstract

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A partir del \emph{teorema de Krein-Milman} (en su versión baricéntrica), es posible demostrar el \emph{teorema de representación de Riesz}. Sin embargo, la prueba clásica de la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman depende a su vez del teorema de representación de Riesz, lo que genera una dependencia circular.En este artículo, mediante caracterizaciones de la convergencia de redes en la \emph{topología Lévy} sobre el espacio\[orba^+= \big\{ \mu \colon \mathcal{A} \to \mathbb{R}^+ \mid \mu \text{ es aditiva, positiva y exteriormente regular} \big\},\]donde $\mathcal{A}$ es un álgebra de conjuntos del espacio normal y Hausdorff \(\Omega\), que contiene a los abiertos de \(\Omega\); establecemos los resultados necesarios para demostrar la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman \emph{sin} apelar al teorema de representación de Riesz.Como consecuencia, obtenemos una demostración del \emph{teorema de representación de Riesz} que depende únicamente de la versión baricéntrica del teorema de Krein-Milman, eliminando así la circularidad en el razonamiento clásico.