An exact asymptotic for the square variation of partial sum processes

Abstract

Nous établissons une formule asymptotique exacte pour la variation quadratique de certains processus de sommes partielles. Soit $\{X_{i}\}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulle et de variance finie $\sigma^{2}$ satisfaisant une condition de moments $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ pour un $\delta>0$. Soit $\mathcal{P}_{N}$ l’ensemble de toutes les partitions possibles de l’intervalle $[N]$ en sous-intervalles, alors nous montrons que presque sûrement $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$. Ceci peut être interprété comme une amélioration de la loi du logarithme itéré et précise les résultats de J. Qian sur les sommes partielles et les processus empiriques. Quand $\delta=0$, nous obtenons une version plus faible, en probabilité, de ce résultat.