Adiabatic theorems for general linear operators and well-posedness of linear evolution equations

Abstract

We present simplifications and generalizations of classic well-posedness theorems by Kato and Yosida for non-autonomous linear evolution equations, as well as simple new counterexamples to well-posedness. We also establish, under mild stability and regularity assumptions, a well-posedness theorem for linear operators whose first or higher commutators are complex scalars. We apply this result to Segal field operators and related operators describing classical particles in a time-dependent bosonic field, and to Schrodinger operators describing particles in a time-dependent electric field. We then establish adiabatic theorems with and without spectral gap conditions for general linear operators with time-independent or time-dependent domains in a Banach space. In these theorems, the considered spectral values need not be (weakly) semisimple. We explore the strength of our theorems in numerous examples and give applications, among other things, to weakly dephasing open quantum systems, and to adiabatic switching procedures thus obtaining a general Gell-Mann and Low theorem. We also apply our general adiabatic theorems to operators defined by symmetric sesquilinear forms which comprise, for example, Schrodinger operators with time-dependent Rollnik potentials. Wir stellen einige Vereinfachungen und Verallgemeinerungen klassischer Wohlgestelltheitssatze von Kato und Yosida vor sowie einfache neue Gegenbeispiele zur Wohlgestelltheit. Auserdem leiten wir unter schwachen Stabilitats- und Regularitatsvoraussetzungen einen Wohlgestelltheitssatz fur lineare Abbildungen her, deren erste oder hohere Kommutatoren komplexe Skalare sind. Wir wenden diesen Satz an auf Segalfeldoperatoren und verwandte Operatoren, die klassische Teilchen in einem zeitabhangigen bosonischen Feld beschreiben, und auf Schrodingeroperatoren, die Teilchen in einem zeitabhangigen Feld beschreiben. Wir leiten dann Adiabatensatze mit und ohne Spektralluckenbedingung her fur allgemeine lineare Abbildungen mit zeitunabhangigen oder zeitabhangigen domains in einem Banachraum. In diesen Satzen brauchen die betrachteten Spektralwerte nicht (schwach) halbeinfach zu sein. Wir loten die Starke unserer Satze in zahlreichen Beispielen aus und geben Anwendungen unter anderem auf schwach dephasierende offene quantentheoretische Systeme und auf adiabatische Anschaltvorgange, wobei wir einen verallgemeinerten gell-mann und lowschen Satz erhalten. Auserdem wenden wir unsere allgemeinen Adiabatensatze an auf lineare Abbildungen, die uber symmetrische Sesquilinearformen definiert sind, beispielsweise Schrodingeroperatoren mit zeitabhangigen Rollnikpotentialen.