О базисах тождеств многообразий группоидов отношений

Abstract

Множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру, называемую алгеброй отношений. Всякую такую алгебру можно рассматривать как упорядоченную отношением теоретико-множественного включения. Для заданного множества Ω операций над бинарными отношениями обозначим через V ar{Ω} [V ar{Ω,⊂}] многообразие, порождённое алгебрами [соответственно упорядоченными алгебрами] отношений с операциями из Ω. Операции над отношениями, как правило, задаются формулами исчисления предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операция является класс диофантовых операций. Операция называется диофантовой, если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. В работе изучаются алгебры отношений с одной бинарной диофантовой операцией, то есть группоиды отношений. В качестве рассматриваемой операции выступает диофантова операция *, определяемая следующим образом: ρ*σ = {( x,у) ∈ X × X : (∃z)( x, z) ∈ ρ∧( x, z) ∈ σ}. Отношение ρ*σ представляет собой результат цилиндрификации пересечения ρ∩σ бинарных отношений ρ и σ. В работе находятся конечные базисы тождеств для многообразий V ar{*} иVar{*,⊂}. Группоид (A, ) принадлежит многообразиюV ar{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам: xy = уx (1), (xу)2= xу (2), (xу)у = xу (3), x2у2= x2у (4), (x2у2)z = x2(у2z) (5). Упорядоченный группоид (A,·,≤) принадлежит многообразию V ar{*,⊂} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1)–(5) и тождествам: х ≤ x2(6), xу ≤ x2(7). В качестве следствия также получен конечный базис тождеств многообразияVar{*,∪}.