Abstract
Для классического потенциала Рисса или дробного интеграла $$I_{\alpha}$$ хорошо известны условия Харди-Литлвуда-Соболева-Стейна-Вейса $$(L^p, L^q)$$ -ограниченности со степенными весами. С помощью преобразования Фурье $$\mathcal{F}$$ потенциал Рисса определяется равенством $$\mathcal{F}(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}(f)(y)$$. Важным обобщением преобразования Фурье стало преобразование Данкля $$\mathcal{F}_k$$, действующее в лебеговых пространствах с весом Данкля, определяемым с помощью системы корней $$R\subset\mathbb{R}^d$$, ее группы отражений G и неотрицательной функции кратности k на R, инвариантной относительно G. С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью равенства $$\mathcal{F}_k(I_{\alpha}f)(y)=|y|^{-\alpha}\mathcal{F}_k(f)(y)$$ определили D-потенциал Рисса. Для D-потенциала Рисса также были доказаны условия ограниченности в лебеговых пространствах с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям для потенциала Рисса. На конференции "Follow-up Approximation Theory and Function Spaces" в Centre de Recerca Matem`atica (CRM, Barcelona, 2017) М.Л. Гольдман поставил вопрос об условиях $$(L_p,L_q)$$-ограниченности D-потенциала Рисса с кусочно-степенными весами. Рассмотрение кусочно-степенных весов позволяет выявить влияние на ограниченность D-потенциала Рисса поведения весов в нуле и бесконечности. В настоящей работе на этот вопрос дается полный ответ. В частности,в случае потенциала Рисса получены необходимые и достаточные условия. В качестве вспомогательных результатов доказаны необходимые и достаточные условия ограниченности операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами.
Highlights
Riesz transform and Riesz potentials for Dunkl transform // J
Potential operators associated with Hankel and Hankel-Dunkl transforms // J. d’Analyse Math. 2017
Fractional integrals on radial functions with applications to weighted inequalities // Ann. Mat
Summary
F (Iαf ) = |· |−αF (f ), F ((−Δ)α/2f ) = |· |αF (f ), указывают, что потенциал Рисса является обратным оператором для дробной степени оператора Лапласа. Что D-потенциал Рисса также является положительным оператором, записав его с помощью положительного оператора обобщенного сдвига. Для группы отражений Zd2 и γ = β = 0, теорема 2 была доказана в [8]. При доказательстве теоремы 3 используются неравенства типа Харди для операторов Харди и Беллмана в лебеговых пространствах с весом Данкля и кусочно-степенными весами. Константа c0(α, β, γ, p, q, d) конечна в неравенстве (7) тогда и только тогда, когда выполнены условия (8), в которых dk = d, и α d. Константа ck(α, β, γ, p, q, d) в неравенстве (7) конечна на подпространстве радиальных функций тогда и только тогда, когда выполнены условия (8) и.
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
