К теории переопределенных систем интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми линиями

Abstract

Translate Article

В прямоугольнике $D=\big\{(x,y):\, a<x<a_{1},\ b<y<b_{1}\big\}$ с границей $\Gamma_{1}=\{y=b, a<x<a_{1}\}$, $\Gamma_{2}=\{x=a, b<y<b_{1}\}$ изучается переопределенная система интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми линиями, которая состоит из двумерного интегрального уравнения и двух одномерных интегральных уравнений. Решение переопределенной системы интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми линиями ищется в классе непрерывных функций в прямоугольнике $D$ и обращающихся в нуль на $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$. В случае, когда основным уравнением изучаемой переопределенной системы интегральных уравнений является первое уравнение системы, и коэффициенты двумерного интегрального уравнения связаны и не связаны между собой особым образом, получим условия совместности уравнений системы. В случае, когда коэффициенты первого уравнения переопределенной системы не связаны между собой, решение переопределенной системы интегральных уравнений ищется в виде обобщенных степенных рядов. В~работе получены явные решения переопределенной системы уравнений, которые в зависимости от знака коэффициентов могут содержать произвольные постоянные. Определены условия совместности уравнений системы, изучены свойства решений, ставятся и решаются задачи типа Коши, где условия задаются на сингулярных многообразиях.