Abstract
In this paper, autonomous differential equations of the second order are considered, the right-hand sides of which are polynomials of degree n with respect to the first derivative with periodic continuously differentiable coefficients, and the corresponding vector fields on the cylindrical phase space. The free term and the leading coefficient of the polynomial is assumed not to vanish, which is equivalent to the absence of singular points of the vector field. Rough equations are considered for which the topological structure of the phase portrait does not change under small perturbations in the class of equations under consideration. It is proved that the equation is rough if and only if all its closed trajectories are hyperbolic. Rough equations form an open and everywhere dense set in the space of the equations under consideration. It is shown that for n > 4 an equation of degree n can have arbitrarily many limit cycles. For n = 4, the possible number of limit cycles is determined in the case when the free term and the leading coefficient of the equation have opposite signs.
Highlights
С -периодическими непрерывными коэффициентами ak (x) , x R , естественно считать заданным на окружности S1 R / Z.
Разделе 2 дано определение грубости уравнения a n , установлено, что уравнение является грубым тогда и только тогда, когда все его замкнутые траектории являются гиперболическими, и доказано, что множество грубых уравнений открыто и всюду плотно в n .
Пусть Y (x,u, ) – его решение, удовлетворяющее начальному условию Y (0,u, ) u , d(u, ) Y( ,u, ) u – функция расхождения, Y (x,uk ,0) , k 1,..., N периодические решения уравнения при 0 , задающие гиперболические предельные циклы.
Summary
С -периодическими непрерывными коэффициентами ak (x) , x R , естественно считать заданным на окружности S1 R / Z. Разделе 2 дано определение грубости уравнения a n , установлено, что уравнение является грубым тогда и только тогда, когда все его замкнутые траектории являются гиперболическими, и доказано, что множество грубых уравнений открыто и всюду плотно в n . Пусть Y (x,u, ) – его решение, удовлетворяющее начальному условию Y (0,u, ) u , d(u, ) Y( ,u, ) u – функция расхождения, Y (x,uk ,0) , k 1,..., N периодические решения уравнения при 0 , задающие гиперболические предельные циклы.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Bulletin of the South Ural State University series "Mathematics. Mechanics. Physics"
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
