О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа

Abstract

Для $0<p<\infty$ мы изучаем взаимосвязь между константой Никольского длятригонометрических полиномов порядка не больше $n$\[\mathcal{C}(n,p)=\sup_{T_{n}\ne 0}\frac{\|T_{n}\|_{\infty}}{\|T_{n}\|_{p}}\]и константой Никольского для целых функций экспоненциального типа небольше~$1$\[\mathcal{L}(p)=\sup_{f\ne 0}\frac{\|f\|_{\infty}}{\|f\|_{p}}.\]Недавно Е.~Левин и Д.~Любинский доказали, что\[\mathcal{C}(n,p)=\mathcal{L}(p)n^{1/p}(1+o(1)),\quad n\to \infty.\]М.~Ганзбург и С.~Тихонов обобщили этот результат на случай константНикольского--Бернштейна.Мы доказываем неравенства\[n^{1/p}\mathcal{L}(p)\le \mathcal{C}(n,p)\le (n+\lceilp^{-1}\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p),\quad n\in \mathbb{Z}_{+},\quad 0<p<\infty,\]которые уточняют результат Левина и Любинского. Доказательство следует нашемустарому подходу, основанному на свойствах интегрального ядра Фейера. С помощьюэтого подхода ранее были доказаны оценки при $p=1$\[n\mathcal{L}(1)\le \mathcal{C}(n,1)\le (n+1)\mathcal{L}(1).\]Данные неравенства позволяют оценить константу $\mathcal{L}(p)$, приближенновычисляя $\mathcal{C}(n,p)$ для больших $n$. Чтобы это сделать мы используемнедавние результаты В.В.~Арестова и М.В.~Дейкаловой, которые выразили константуНикольского $\mathcal{C}(n,p)$ при помощи алгебраического полинома $\rho_{n}$,наименее уклоняющегося от нуля в пространстве $L^{p}$ на отрезке $[-1,1]$ свесом $(1-t)v(t)$, где $v(t)=(1-t^{2})^{-1/2}$~--- вес Чебышева. Как следствие,мы уточняем оценки для константы Никольского $\mathcal{L}(1)$ и находим, что\[1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.082.\]Для сравнения предыдущие оценки были $1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.098$.